下一頁直到幸福

作者: awendy (蘇菲亞&mayday阿信) 看板: P_a_wendy
標題: 斐波那契數列
時間: Tue Dec 14 21:10:39 2004

「每一對兔子過了出生第一個月之後，每個月生一對小兔子。
現把一對初生小兔子放在屋內，問一年後屋內有多少對兔子？」

　　先不在這裡考慮兔子能否長大，或是某些月份沒有生小兔子一類的問題，
完全只由數學角度去考慮這問題，意大利數學家斐波那契(Fibonacci)解了
這個題目，其內容大約是這樣的：

　　在第一個月時，只有一對小兔子，過了一個月，那對兔子成熟了，
在第三個月時便生下一對小兔子，這時有兩對兔子。再過多一個月，
成熟的兔子再生一對小兔子，而另一對小兔子長大，有三對小兔子。
如此推算下去，我們便發現一個規律：

時間(月) 初生兔子(對) 成熟兔子(對) 兔子總數(對)
１ １ ０ １
２ ０ １ １
３ １ １ ２
４ １ ２ ３
５ ２ ３ ５
６ ３ ５ ８


不難發現，每個月成熟兔子的數目是上個月的兔子總數，
而初生兔子的數目是上個月成熟兔子的數目，
也即是兩個月前的兔子總數，因此每個月的兔子總數剛好是上個月和兩個月前
的的兔子總數之和。由此可得每個月的兔子總數是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55, 89, 144, 23, 377...，由此可知一年後有 377 對兔子。

　　若把上述數列繼續寫下去，得到的數列便稱為斐波那契數列，
數列中每個數便是前兩個數之和，而數列的最初兩個數都是 1。
若果設 F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13...
則成立這個關係式：當 n 大於 1，Fn+2=Fn+1+ Fn，而 F0=F1=1。
下面是一個古怪的式子：
　　 Fn看似是無理數，但當 n 是非負整數時，Fn都是整數，
而且組成斐波那契數列，因為F0=F1=1，並且Fn+2=Fn+1+ Fn，
這可用數學歸納法來證明。

　　利用斐波那契數列解決兔子數目的問題似乎沒有甚麼用途，
因為不能保證兔子真的每月只生一對小兔子一類的問題，
但事實上這個數列的應用十分廣泛。例如一個走梯級的問題，
若某人走上一段梯級，他每一步可以走上一級，
或是跳過一級而走到第二級，
若他要走上六級，有多少個不同走法？
我們可以考慮，若果設 Fn是走 n 級梯級的走法的數目，
若他在第n級，他可以走到第 n-1 級，或是跳過第n-1級，
走到第 n-2 級，他在第 n-1 級有 Fn-1個走法，
而在第 n-2 級有 Fn-2個走法，
因此在第n級時的走法是 Fn-2+Fn-1個走法，即 Fn=Fn-2+Fn-1，
而他在第二級和第三級的走法分別有 1 個和 2 個，
因此可知走法的數目與斐波那契數列有關。
　　我們還可以利用斐波那契數列來做出一個新的數列，方法是
把數列中相鄰的數字相除，以組成新的數列如下：
　　
　　從(1)中可知當 n 無限增大時，數列的極限是
　　
　　這個數值稱為黃金分割，它正好是方程 x2+x-1=0 的一個根。

--

http://mathsmoney.uhome.net/maths/t001.htm



The j☉urney is every thing☆
--
夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已相簿 http://www.wretch.cc/album 有佈景主題 速度很快 可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬道 Dorm45.NHCTC.edu.tw海